Multipolentwicklung des Gravitationspotentials

Das Gravitationspotential am Punkt (Overscript[R,  ⇀])  eines 
      Körpers der\(		Dichteverteilung\ ρ \((\(r\& ⇀ \))\)\ ist\ 
      proportional\ zu\ \)\(	∫\(\(ρ 
              \((\(r\& ⇀ \))\)\)\/\@\(r\^2 + R\^2 - 
                2 \( R\& ⇀ \) \(r\& ⇀ \)\)\) 
        d\(r\& ⇀ \).\ Wenn\ man\ einen\ Punkt\ 
        betrachtet\ der\)\(			weit\ außerhalb\ des\ Körpers\ liegt, \ 
    dann\ ist\ r ≪ R.\ Bei\)\(			der\ Zerlegung\ nach\ Multipolen\ entwickelt\ man\ die\)\(		Wurzel\ in\ Potenzevon\ \(r\/R\).\ \ Die\ Koeffizienten\ der\)\(		Entwicklung\ bis\ vierter\ Ordnung\ ergeben\ sich\ aus\)

Reihenentwicklung

Series[(1/(Sqrt[1 - 2  x rR + (x^2)])), {x, 0, 4}] // Simplify

Clear[r]; r[x_, y_] := (Sqrt[(x^2) + (y^2)])Clear[φ]; 
    φ[x_, y_ /; Abs[x] + Abs[y] > 0] := ArcTan[x, y]φ[x_, y_ /; Abs[x] + Abs[y] == 0] := 0

Der Quadrupolterm

Clear[V]; V[r_ /; r < 1, φ_] := 1V[r_ /; r ⩾ 1, φ_] := 
      -(1/r) (1 + (2.5/(r^2)) Cos[2  φ])

t = 
      Table[V[r[x, y], φ[x, y]], {x, -4, 4, .1}, {y, -4, 
          4, .1}];

ListPlot3D[t]

ListContourPlot[t, Contours -> 20, ContourShading -> False]

Der Sextupolterm

Clear[V]; V[r_ /; r < 1, φ_] := 1V[r_ /; r ⩾ 1, φ_] := 
      -(1/r) (1 + (2.5/(r^4)) Cos[3  φ])

t = 
      Table[V[r[x, y], φ[x, y]], {x, -4, 4, .1}, {y, -4, 
          4, .1}];

ListPlot3D[t]

ListContourPlot[t, Contours -> 20, ContourShading -> False]

Der Oktupolterm

Clear[V]; V[r_ /; r < 1, φ_] := 1V[r_ /; r ⩾ 1, φ_] := 
      -(1/r) (1 + (2.5/(r^6)) Cos[4  φ])

t = 
      Table[V[r[x, y], φ[x, y]], {x, -4, 4, .1}, {y, -4, 
          4, .1}];

ListPlot3D[t]

ListContourPlot[t, Contours -> 20, ContourShading -> False]

Zusammensetzung mehrerer Multipole

Clear[V]; V[r_ /; r < 1, φ_] := 1V[r_ /; r ⩾ 1, φ_] := 
      -(1/r) 
        (1 + (2.5/(r^2)) Cos[2  φ] + 
            (2.5/(r^4)) Cos[3  φ] + 
            (2.5/(r^6)) Cos[4  φ])

t = 
      Table[V[r[x, y], φ[x, y]], {x, -4, 4, .1}, {y, -4, 
          4, .1}];

ListPlot3D[t]

ListContourPlot[t, Contours -> 20, ContourShading -> False]